Notions du collège · Maths · 5e-4e

Produit en croix en 5e et 4e : les erreurs qui coûtent des points (et comment aider votre enfant)

Votre enfant sait faire « un produit en croix », et pourtant il multiplie parfois les mauvais nombres, ou l'applique à une situation qui n'est pas proportionnelle, et la copie revient avec des points en moins. C'est très courant. Voici les erreurs les plus fréquentes, et pour chacune une question à lui poser pour qu'il trouve lui-même ce qui cloche, sans que vous ayez besoin de vous souvenir du cours.

Le produit en croix, en une phrase

masse (kg) prix (€) 3 5 12 ? 12 × 5 ÷ 3 = 20 on multiplie en croix, on divise par le 3

Les nombres en croix, 12 et 5, se multiplient. On divise par le troisième nombre, 3, placé en diagonale du ?. Donc 5 kg coûtent 20 €.

Dans un tableau de proportionnalité, on connaît trois valeurs et on cherche la quatrième : c'est la quatrième proportionnelle. Le produit en croix la donne en multipliant les deux nombres placés en croix, puis en divisant par le troisième nombre connu, celui qui est en diagonale du ?. Attention : il ne s'applique que si la situation est proportionnelle, c'est-à-dire si, quand une grandeur double, l'autre double aussi (ici, le kilo coûte toujours 4 €).

Le produit en croix est vu en général en 4e, et préparé dès la 5e avec les tableaux de proportionnalité. Selon les classes, votre enfant peut aussi passer par le coefficient du tableau ou par le prix d'un seul.

Les erreurs à repérer sur la copie

1. Appliquer le produit en croix à une situation qui n'est pas proportionnelle

Léo mesure 1,20 m à 8 ans. L'élève cherche sa taille à 16 ans.

1,20 × 16 ÷ 8 = 2,40 m

Le calcul est juste, mais la situation ne s'y prête pas : la taille n'est pas proportionnelle à l'âge. À 16 ans, on ne mesure pas le double de ce que l'on mesurait à 8 ans. Le produit en croix ne donne un résultat fiable que si, quand une grandeur double, l'autre double aussi.

« Connais-tu quelqu'un de 16 ans qui mesure 2,40 m ? Quand l'âge double, est-ce que la taille double aussi ? »

On ne peut pas utiliser le produit en croix ici : ce n'est pas une situation de proportionnalité.

2. Multiplier les deux mauvais nombres

6 cahiers coûtent 15 €. L'élève cherche le prix de 4 cahiers.

6 × 4 ÷ 15 = 1,60 €

Il a multiplié les deux nombres de la même ligne (6 et 4). Il faut multiplier les deux nombres en croix (15 et 4), puis diviser par le troisième nombre (ici 6). Le tableau aide : le 6 est en diagonale du ?.

« Si 6 cahiers coûtent 15 €, un seul coûte plus de 2 €. Quatre cahiers peuvent-ils coûter 1,60 € ? »

15 × 4 ÷ 6 = 10, donc 4 cahiers coûtent 10 €

3. Multiplier au lieu de diviser pour trouver le prix d'un seul

3 kg coûtent 12 €.

Si 3 kg coûtent 12 €, 1 kg coûte 3 × 12 = 36 €.

Pour passer de 3 kg à 1 kg, on partage en 3 : le prix doit être divisé par 3, pas multiplié. Un kilo ne peut pas coûter plus cher que trois kilos.

« Un kilo est plus léger que trois kilos : son prix doit-il être plus petit ou plus grand que 12 € ? Qu'en conclus-tu sur ton opération ? »

12 ÷ 3 = 4, donc 1 kg coûte 4 €

4. Ajouter le même nombre au lieu de multiplier

3 kg coûtent 12 €. L'élève cherche le prix de 5 kg.

Si 3 kg coûtent 12 €, alors 5 kg coûtent 14 €, parce qu'il y a 2 kg de plus et 2 € de plus.

En proportionnalité, on multiplie ou on divise, on n'ajoute pas le même nombre aux deux grandeurs. Puisque 1 kg coûte 4 €, 2 kg de plus coûtent 8 €, pas 2 €.

« Combien coûte 1 kg d'après l'énoncé ? Combien devraient alors coûter 2 kg de plus ? »

12 + 2 × 4 = 20, donc 5 kg coûtent 20 €

5. Conclure à la proportionnalité parce que les valeurs augmentent régulièrement

Un manège coûte 5 € d'entrée, puis 2 € par tour.

1, 2, 3 et 4 tours coûtent 7 €, 9 €, 11 € et 13 € : les prix augmentent de 2 en 2, donc c'est proportionnel.

Une augmentation régulière ne suffit pas. Ici, les 5 € d'entrée sont payés une seule fois : ce sont des frais fixes. Quand le nombre de tours double, le prix ne double pas, et un produit en croix donnerait des résultats faux.

« Pour 2 tours on paie 9 €, pour 4 tours 13 € : le prix double-t-il quand le nombre de tours double ? »

Ce n'est pas proportionnel : 9 × 2 = 18, mais 4 tours coûtent 13 €

6. Confondre le coefficient de proportionnalité et l'écart

Dans un tableau, on passe de 4 à 12.

Le coefficient de proportionnalité entre 4 et 12 est 8.

8 est l'écart entre 4 et 12 (12 − 4). Le coefficient est le nombre par lequel on multiplie : 4 × ? = 12. On le trouve en divisant, 12 ÷ 4.

« Si tu multiplies 4 par ton coefficient 8, obtiens-tu 12 ? Dis-moi comment tu as trouvé 8. »

12 ÷ 4 = 3, car 4 × 3 = 12

Vérifier son travail sans connaître le cours

Vous n'avez pas à refaire l'exercice. Trois contrôles suffisent, et votre enfant peut vite les faire seul :

  1. « Ton résultat doit-il être plus petit ou plus grand ? » Avant même de calculer, il dit si la réponse doit dépasser la valeur voisine ou non : 5 kg coûtent plus cher que 3 kg, donc plus de 12 €. Un résultat de 1,25 € (obtenu en faisant 3 × 5 ÷ 12) est écarté tout de suite.
  2. « Retrouve le prix d'un seul, dans chaque colonne. » 12 ÷ 3 = 4 et 20 ÷ 5 = 4 : on trouve le même nombre, le calcul tient. Si les deux nombres sont différents, le calcul est faux, ou la situation n'est pas proportionnelle.
  3. « Si je double, est-ce que ça double ? » Avant tout produit en croix, il vérifie la situation : 3 kg coûtent 12 € et 6 kg coûtent 24 €, c'est cohérent. Pour la taille d'un enfant ou un tarif avec entrée, ce n'est pas le cas.

Le bon réflexe : poser la question, puis se taire. Si votre enfant trouve lui-même que 4 cahiers ne peuvent pas coûter 1,60 € alors qu'un seul en coûte plus de 2 €, il ne refera plus l'erreur. Si vous lui donnez la correction, il la recopiera et l'oubliera.

Quand il faut réexpliquer : Klara fait la prof

Parfois, une question ne suffit pas : la proportionnalité n'a jamais été comprise, ou votre enfant ne sait pas quand le produit en croix est permis, et vous ne pouvez pas tout reprendre. Klarityschool intervient alors. Votre enfant montre son exercice, et Klara, la tutrice vocale, le fait raisonner à voix haute. Elle pose exactement ce genre de question, repère l'étape qui coince et reformule la méthode autant de fois qu'il le faut. Elle ne donne jamais la réponse.

Vous restez le parent : vous recevez un débrief après chaque séance. Pour aller plus loin en maths, lisez notre guide pour aider votre enfant en maths.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le produit en croix, et à quoi sert-il ?
Le produit en croix sert à trouver la quatrième valeur d'un tableau de proportionnalité quand on en connaît trois : c'est la « quatrième proportionnelle ». On multiplie les deux nombres placés en croix, puis on divise par le troisième nombre connu, celui qui est en diagonale de l'inconnue. Par exemple, si 3 kg coûtent 12 €, le prix de 5 kg est 12 × 5 ÷ 3 = 20 €. Il ne s'applique que si la situation est proportionnelle.
À quel niveau apprend-on le produit en croix ?
Le produit en croix est vu en général en 4e, et préparé dès la 5e avec les tableaux de proportionnalité. Le moment exact et la méthode mise en avant (coefficient, prix d'un seul ou produit en croix) dépendent de l'enseignant et du manuel. Le plus simple est de demander à votre enfant ce que son professeur lui a montré.
Comment savoir si une situation est proportionnelle ?
Il faut que, lorsqu'une grandeur est multipliée par un nombre, l'autre soit multipliée par le même nombre. Dans un tableau, tous les quotients prix ÷ quantité sont alors égaux : 12 ÷ 3 = 4 et 20 ÷ 5 = 4. Un manège qui coûte 5 € d'entrée puis 2 € par tour n'est pas proportionnel : 1 tour coûte 7 € et 2 tours coûtent 9 €, et 9 n'est pas le double de 7. De même, la taille d'un enfant n'est pas proportionnelle à son âge.
Peut-on faire sans produit en croix ?
Oui. On peut passer par le prix d'un seul : 12 ÷ 3 = 4, donc 4 € le kilo, puis 4 × 5 = 20 €. On peut aussi utiliser le coefficient de proportionnalité du tableau, ici 4. Le produit en croix est un raccourci pratique. Si votre enfant hésite sur ses nombres, revenir au prix d'un seul est une bonne façon de vérifier.
Mon enfant mélange les nombres dans le produit en croix : que faire ?
Avant tout calcul, faites-lui dire si le résultat doit être plus petit ou plus grand que la valeur voisine : 5 kg coûtent plus cher que 3 kg, donc plus de 12 €. Cette estimation écarte déjà les calculs faux. Ensuite, demandez-lui de refaire le calcul avec le prix d'un seul pour comparer les deux résultats.

À lire aussi

Ce soir, Klara fait la prof de maths

Elle fait expliquer votre enfant à voix haute, repère l'étape qui coince et réexplique la méthode, sans jamais souffler la réponse. Vous restez le parent, débrief à chaque séance. Testez Klara gratuitement.

Télécharger l'application →