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Résoudre une équation en 4e : les erreurs qui coûtent des points (et comment aider votre enfant)

Votre enfant sait qu'en équation « il faut trouver x », et pourtant la copie revient avec des points en moins. C'est très courant. Voici les erreurs les plus fréquentes, et pour chacune une question à lui poser pour qu'il trouve lui-même ce qui cloche, sans que vous ayez besoin de vous souvenir du cours.

Résoudre une équation, en une phrase

x + 3 7 − 3 − 3 des deux côtés x = 4

Une équation est une balance en équilibre : ce que l'on fait d'un côté, on le fait de l'autre. Ici, on retire 3 des deux côtés.

Une équation est une égalité qui contient une inconnue, souvent notée x. Résoudre, c'est trouver la valeur de x pour laquelle l'égalité est vraie. La règle à retenir : on peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres, ou les multiplier ou diviser par un même nombre différent de 0, sans casser l'égalité. Le but est d'isoler x.

Prenons 5x + 3 = 2x + 15. On soustrait 2x aux deux membres, puis 3, puis on divise les deux membres par 3 :

5x + 3 = 2x + 15
5x − 2x + 3 = 15, donc 3x + 3 = 15
3x = 15 − 3 = 12
x = 12 ÷ 3 = 4

Vous avez peut-être appris « on passe de l'autre côté en changeant le signe ». C'est un raccourci qui marche pour + et −, mais pas pour × et ÷ : dans 3x = 12, le 3 ne devient pas −3, on divise les deux membres par 3.

Les erreurs à repérer sur la copie

1. Changer de membre sans changer le signe

x + 5 = 9 donc x = 9 + 5 = 14

L'élève a déplacé le 5 de l'autre côté sans le transformer. Le 5 est ajouté à x : pour l'enlever des deux côtés, on le soustrait aux deux membres. Avec x = 14, on aurait x + 5 = 19, et non 9.

« Imagine une balance en équilibre avec x + 5 d'un côté et 9 de l'autre. Si tu enlèves 5 d'un côté, que dois-tu faire de l'autre côté pour qu'elle reste en équilibre ? »

x + 5 = 9, donc x = 9 − 5 = 4

2. Diviser au lieu de soustraire

x + 4 = 12 donc x = 12 ÷ 4 = 3

L'élève a pris la mauvaise opération : le 4 est ajouté à x, il ne le multiplie pas. Pour défaire une addition, on fait une soustraction ; pour défaire une multiplication, on fait une division. Ici, x a été augmenté de 4 : on retire 4. Avec x = 3, on aurait x + 4 = 7, et non 12.

« Si x vaut 3, combien vaut x + 4 ? Est-ce bien 12 ? Quelle opération annule un “+ 4” ? »

x + 4 = 12, donc x = 12 − 4 = 8

3. Soustraire au lieu de diviser

3x = 12 donc x = 12 − 3 = 9

3x veut dire 3 × x : le 3 multiplie x. Pour défaire une multiplication par 3, on divise les deux membres par 3. Ici, le raccourci du « changement de signe » ne s'applique pas : le 3 ne devient pas −3. Avec x = 9, les trois x pèseraient 27, et non 12.

« Si x vaut 9, que pèsent les trois x du plateau de gauche ? La balance reste-t-elle en équilibre avec 12 de l'autre côté ? »

3x = 12, donc x = 12 ÷ 3 = 4

4. Ne diviser qu'un seul terme

2x + 6 = 10 donc x + 6 = 5, donc x = −1

L'élève a divisé par 2 le 2x et le 10, mais pas le 6. Quand on divise un membre par 2, il faut diviser tous ses termes (on obtiendrait x + 3 = 5). Le plus sûr est d'enlever d'abord le 6 aux deux membres, puis de diviser par 2.

« Ta ligne te donne x = −1. Remplace x par −1 dans 2x + 6 : tombes-tu sur 10 ? »

2x + 6 = 10, donc 2x = 10 − 6 = 4, donc x = 4 ÷ 2 = 2

5. Regrouper les x sans changer le signe

5x + 3 = 2x + 15 donc 5x + 2x = 15 − 3, donc 7x = 12

Le 3 a bien été soustrait, mais le 2x a été ajouté à gauche au lieu d'être soustrait. Pour faire disparaître 2x à droite, on soustrait 2x aux deux membres. Même règle que pour les nombres : ce qui était ajouté se retire.

« Pour que le 2x disparaisse du côté droit, que dois-tu faire des deux côtés de l'égalité ? Que devient alors le 5x de gauche ? »

5x + 3 = 2x + 15, donc 5x − 2x = 15 − 3, donc 3x = 12, donc x = 4

6. Oublier de distribuer le signe moins devant une parenthèse

4x − (x + 3) = 9 donc 4x − x + 3 = 9, donc 3x = 6, donc x = 2

Le signe moins devant la parenthèse s'applique à tous les termes à l'intérieur : −(x + 3) devient −x − 3. L'élève a changé le signe de x, mais pas celui du 3.

« Remplace x par 2 dans 4x − (x + 3) : tombes-tu sur 9 ? Quand tu enlèves la parenthèse précédée d'un moins, que devient le signe de chaque terme ? »

4x − (x + 3) = 9, donc 4x − x − 3 = 9, donc 3x − 3 = 9, donc 3x = 12, donc x = 4

7. Perdre le signe du nombre devant x

−3x = 12 donc x = 12 ÷ 3 = 4

Le nombre devant x est −3, signe compris. On divise donc par −3, et non par 3. Un quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. Avec x = 4, on aurait −3x = −12.

« Remplace x par 4 dans −3x : obtiens-tu 12 ? Par quel nombre divises-tu, exactement ? »

−3x = 12, donc x = 12 ÷ (−3) = −4

8. Écrire 5x² au lieu de 5x

3x + 2x = 5x²

3x + 2x, c'est « trois x plus deux x », donc cinq x : 5x. Le carré x² signifie x × x, ce qui est tout autre chose. Pour x = 10, on a 5x = 50 mais 5x² = 500.

« Prends x = 10 : combien font 3x + 2x ? Et ton 5x² avec x = 10 ? Trouves-tu la même chose ? »

3x + 2x = 5x

Vérifier son travail sans connaître le cours

Vous n'avez pas à refaire l'exercice. Trois contrôles suffisent, et votre enfant peut vite les faire seul :

  1. « Remplace x par ta solution dans l'équation de départ. » On calcule le membre de gauche, puis celui de droite, et les deux doivent donner le même nombre. Pour 5x + 3 = 2x + 15 et x = 4 : 5 × 4 + 3 = 23 et 2 × 4 + 15 = 23. C'est bien la même chose. Il faut utiliser l'équation de départ, pas la dernière ligne : sinon une erreur de recopie passe inaperçue.
  2. « Qu'as-tu fait des deux côtés, à chaque ligne ? » Chaque passage d'une ligne à la suivante doit être la même opération sur les deux membres. Si votre enfant ne sait pas dire laquelle, l'erreur se cache souvent là.
  3. « Écris une seule étape par ligne, avec l'opération notée à côté. » Par exemple « − 2x », « − 3 », « ÷ 3 » en marge. Une ligne qui regroupe trois étapes d'un coup est celle où l'on perd un signe.

Le bon réflexe : poser la question, puis se taire. Si votre enfant remplace lui-même x par sa réponse et voit que les deux membres ne sont pas égaux, il comprend pourquoi il s'est trompé et ne refera plus l'erreur. Si vous lui donnez la correction, il la recopiera et l'oubliera.

Quand il faut réexpliquer : Klara fait la prof

Parfois, une question ne suffit pas : l'idée de « faire la même chose des deux côtés » n'a jamais été comprise, et vous ne pouvez pas tout reprendre. Klarityschool intervient alors. Votre enfant montre son exercice, et Klara, la tutrice vocale, le fait raisonner à voix haute. Elle pose exactement ce genre de question, repère l'étape qui coince et reformule la méthode autant de fois qu'il le faut. Elle ne donne jamais la réponse.

Vous restez le parent : vous recevez un débrief après chaque séance. Pour aller plus loin en maths, lisez notre guide pour aider votre enfant en maths.

Questions fréquentes

Que voit-on sur les équations en 4e ?
En 4e, l'élève apprend en général à résoudre des équations du premier degré à une inconnue, par exemple de la forme ax + b = cx + d. La règle de base : on ne change pas une égalité quand on ajoute ou soustrait le même nombre aux deux membres, ou quand on les multiplie ou les divise par un même nombre différent de 0. Il apprend aussi à tester si un nombre est solution d'une équation et à mettre un problème en équation.
Peut-on dire à son enfant « tu passes le nombre de l'autre côté en changeant le signe » ?
C'est un raccourci qui marche pour l'addition et la soustraction : dans x + 5 = 9, le + 5 devient − 5 de l'autre côté, donc x = 9 − 5. Il ne marche pas pour la multiplication et la division : dans 3x = 12, le 3 ne devient pas −3, on divise les deux membres par 3. Il vaut mieux apprendre la vraie règle, qui est la même pour toutes les opérations : on fait la même chose des deux côtés.
Comment savoir si la solution trouvée est juste ?
On remplace x par la solution dans l'équation de départ, et on calcule chaque membre séparément. S'ils donnent le même nombre, la solution est juste. Pour 5x + 3 = 2x + 15 et la solution x = 4, le membre de gauche vaut 5 × 4 + 3 = 23 et celui de droite 2 × 4 + 15 = 23. Les deux sont égaux, donc 4 est bien la solution.
Que faire quand il y a des x des deux côtés du signe égal ?
On regroupe les x d'un côté et les nombres de l'autre, en soustrayant ou en ajoutant la même chose aux deux membres. Pour 5x + 3 = 2x + 15, on soustrait 2x aux deux membres : 3x + 3 = 15. On soustrait 3 aux deux membres : 3x = 12. On divise les deux membres par 3 : x = 4.
Et les équations comme (x − 2)(x + 5) = 0 ?
Elles ne sont pas au programme de la 4e. Les équations avec un produit de deux facteurs égal à 0 (équations « produit nul ») se voient en 3e. En 4e, on reste sur les équations du premier degré, où x n'apparaît qu'à la puissance 1.

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