Notions du collège · Maths · 4e et 3e

Théorème de Thalès en 3e : les erreurs qui coûtent des points (et comment aider votre enfant)

Thalès revient presque chaque année au brevet, et c'est souvent là que les points s'envolent. Pas parce que votre enfant ne connaît pas la formule, mais parce qu'il met la mauvaise longueur dans un rapport, oublie de vérifier une condition ou conclut trop vite. Voici les erreurs les plus fréquentes, comment les reconnaître sur un cahier, et pour chacune une question à lui poser pour qu'il les repère lui-même.

Ce que dit le théorème, en une phrase

A B C M N (MN) // (BC)

Le petit triangle AMN est une réduction du grand triangle ABC.

Si M est sur le segment [AB], N sur le segment [AC], et si (MN) est parallèle à (BC), alors les longueurs des côtés du petit triangle AMN et du grand triangle ABC sont proportionnelles :

AM/AB = AN/AC = MN/BC

En 4e, on l'utilise avec les triangles « emboîtés » comme ci-dessus. En 3e s'ajoutent la configuration en papillon, où les deux triangles sont de part et d'autre de A, et la réciproque, qui sert à prouver que deux droites sont parallèles.

Les erreurs à repérer sur la copie

1. Appliquer Thalès sans droites parallèles

L'élève voit deux droites qui se coupent et deux autres droites, et écrit les rapports. Sans parallélisme, les longueurs ne sont pas proportionnelles et tout le calcul est faux. La première ligne d'une rédaction doit citer le parallélisme donné par l'énoncé.

« Place M et N n'importe où sur [AB] et [AC] : les rapports AM/AB et AN/AC sont-ils égaux ? Qu'est-ce qui manque pour qu'ils le soient ? »

2. Mettre MB dans les rapports

AM/MB = AN/NC = MN/BC

Le morceau MB, entre les deux parallèles, n'est un côté ni du petit ni du grand triangle. L'égalité AM/MB = AN/NC est en fait exacte, mais MN/BC ne peut pas lui être égal. Avec AM = 2 cm, MB = 3 cm et BC = 10 cm, l'élève trouve MN ≈ 6,7 cm au lieu de 4 cm. La règle : chaque rapport met un côté du petit triangle face au côté correspondant du grand.

« Le petit triangle, c'est AMN, le grand, c'est ABC. MB est-il un côté de l'un de ces deux triangles ? »

3. Inverser un rapport en cours de route

AM/AB = AN/AC = BC/MN

Les deux premiers rapports mettent le petit triangle en haut, le troisième le met en bas. Chaque rapport doit suivre le même ordre, par exemple petit triangle en haut, grand en bas.

« Dans chacun de tes rapports, le nombre du haut vient-il du même triangle ? Regarde le dernier. »

4. Réciproque : comparer des valeurs arrondies

AM/AB = 3/7 ≈ 0,4 et AN/AC = 4/9 ≈ 0,4, donc (MN) // (BC).

Deux fractions différentes peuvent avoir le même arrondi. Ici 3 × 9 = 27 et 7 × 4 = 28 : les rapports ne sont pas égaux, donc les droites ne sont pas parallèles. Il faut comparer les fractions de façon exacte.

« Arrondis 3/7 et 4/9 au centième : trouves-tu encore le même nombre ? »

5. Réciproque : oublier l'ordre des points

Les rapports sont égaux, mais M est sur [AB] alors que N est de l'autre côté de A par rapport à C. Les droites ne sont alors pas parallèles. La réciproque exige que les points soient alignés dans le même ordre sur les deux droites : par exemple A, M, B sur une droite et A, N, C sur l'autre.

« Où sont M et N par rapport à A ? Sont-ils du même côté que B et C ? »

6. Croire le dessin

Les droites (MN) et (BC) ont l'air parallèles, donc elles le sont.

Un tracé à la règle n'est jamais parfait : deux droites peuvent sembler parallèles sans l'être. Il faut le démontrer, ici en calculant les rapports et en appliquant la réciproque.

« Deux droites peuvent-elles sembler parallèles sans l'être ? Que pourrais-tu calculer pour en être sûr ? »

7. Papillon : se tromper de triangle

Dans la configuration en papillon, les droites (BD) et (CE) se coupent en A, avec A entre B et D et entre C et E, et (BC) est parallèle à (DE). Les deux triangles sont ABC et ADE. Les erreurs typiques :

« BC est un côté du triangle ABC. Avec quel côté du triangle ADE faut-il le comparer ? »

Vérifier son travail sans connaître le cours

Trois contrôles suffisent, et votre enfant peut vite les faire seul :

  1. « Où sont les parallèles ? » Pour calculer une longueur, la première phrase doit citer les deux droites parallèles de l'énoncé.
  2. « Montre-moi le petit triangle et le grand. » Chaque longueur d'un rapport doit être un côté de l'un des deux, toujours dans le même ordre, par exemple petit en haut, grand en bas.
  3. « Ton résultat est-il cohérent ? » Un côté du petit triangle doit être plus court que le côté correspondant du grand. Si MN dépasse BC dans des triangles emboîtés, il y a une erreur.

Le bon réflexe : poser la question, puis se taire. Si votre enfant voit lui-même que MB n'est un côté d'aucun des deux triangles, il ne refera plus l'erreur. Une correction donnée se recopie, une erreur trouvée se retient.

Quand il faut réexpliquer : Klara fait la prof

Parfois, une question ne suffit pas : la proportionnalité ou la notion de droites parallèles n'a jamais été claire, et vous ne pouvez pas tout reprendre. Klarityschool intervient alors. Votre enfant montre son exercice, et Klara, la tutrice vocale, le fait raisonner à voix haute. Elle pose exactement ce genre de question, repère l'étape qui coince et reformule la méthode autant de fois qu'il le faut. Elle ne donne jamais la réponse, même si l'enfant insiste.

Vous restez le parent : vous recevez un débrief après chaque séance. Thalès tombe souvent au brevet : notre page pour réviser le brevet donne un plan de révision complet.

Questions fréquentes

En quelle classe voit-on le théorème de Thalès ?
Il commence en 4e avec la configuration des triangles emboîtés. En 3e, on ajoute la configuration en papillon et la réciproque, qui sert à prouver que deux droites sont parallèles. C'est un grand classique du brevet.
Comment savoir quelles longueurs mettre dans les rapports de Thalès ?
Chaque rapport compare un côté du petit triangle au côté correspondant du grand triangle, toujours dans le même ordre, par exemple petit en haut, grand en bas. Avec le petit triangle AMN et le grand ABC, on écrit AM/AB = AN/AC = MN/BC. Un morceau comme MB n'est un côté d'aucun des deux triangles : il ne peut pas servir à calculer MN.
Pourquoi ne peut-on pas utiliser la réciproque de Thalès avec des valeurs arrondies ?
Parce que deux rapports différents peuvent avoir le même arrondi. 3/7 et 4/9 donnent tous les deux environ 0,4, mais 3 × 9 = 27 et 7 × 4 = 28 : ils ne sont pas égaux. Il faut comparer les fractions de façon exacte, par exemple avec les produits en croix.

À lire aussi

Ce soir, Klara fait la prof de maths

Elle fait expliquer votre enfant à voix haute, repère l'étape qui coince et réexplique la méthode, sans jamais souffler la réponse. Vous restez le parent, débrief à chaque séance. Essai gratuit : 20 minutes avec Klara + 7 devoirs, offerts à l'inscription.

Télécharger l'application →