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Fonction affine en 3e : les erreurs qui coûtent des points (et comment aider votre enfant)

f(x) = 2x + 1, f(3), image, antécédent, droite, coefficient directeur : le vocabulaire des fonctions arrive d'un coup en 3e, et il est facile de s'y mélanger même quand on sait calculer. C'est très courant. Voici les erreurs les plus fréquentes sur la fonction affine, et pour chacune une question à poser à votre enfant pour qu'il trouve lui-même ce qui cloche, sans que vous ayez besoin de vous souvenir du cours.

La fonction affine, en une phrase

Une fonction affine associe à chaque nombre x le nombre f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres fixés. Sa représentation graphique est une droite non verticale, et inversement, toute droite non verticale représente une fonction affine. Quatre mots reviennent sans cesse :

• Image et antécédent : f(2) = 5 se lit « l'image de 2 est 5 », et 2 est un antécédent de 5. On part de l'antécédent, on arrive à l'image.
• Coefficient directeur a : c'est de combien f(x) change quand x augmente de 1. Si a est positif, la droite monte de gauche à droite ; s'il est négatif, elle descend.
• Ordonnée à l'origine b : c'est la valeur de f(0), donc l'endroit où la droite coupe l'axe vertical, au point (0 ; b).
• Fonction linéaire : le cas particulier où b = 0, soit f(x) = ax. Sa droite passe par l'origine, et elle traduit une situation de proportionnalité. Toute fonction linéaire est donc aussi une fonction affine.

Un exemple avec f(x) = 2x + 1 :

f(2) = 2 × 2 + 1 = 5 : l'image de 2 est 5
2x + 1 = 5 donne x = 2 : un antécédent de 5 est 2
a = 2 : quand x augmente de 1, f(x) augmente de 2
b = 1 : la droite passe par le point (0 ; 1)

Les erreurs à repérer sur la copie

1. Confondre image et antécédent

f(2) = 5, donc 5 est l'antécédent de 2

Dans l'écriture f(2) = 5, on part de 2, le nombre qu'on donne à la fonction, et on arrive à 5, le résultat. Le résultat est l'image, le nombre de départ est l'antécédent. L'élève a inversé les deux mots.

L'image de 2 est 5. Le nombre 2 est un antécédent de 5.

2. Lire f(3) comme « f multiplié par 3 »

f(x) = 2x + 1, donc f(3) = 3(2x + 1) = 6x + 3

f(3) ne veut pas dire « f fois 3 ». La lettre f est le nom de la fonction, une consigne de calcul, et la parenthèse indique le nombre auquel on l'applique. Pour trouver f(3), on remplace x par 3 dans la formule, on ne multiplie pas la formule par 3. Le résultat est un nombre, pas une expression qui contient encore un x.

f(3) = 2 × 3 + 1 = 7

3. Chercher un antécédent en calculant une image

Antécédent de 7 par f(x) = 2x + 1 : f(7) = 2 × 7 + 1 = 15

Calculer f(7), c'est chercher l'image de 7. Or on demande le nombre dont l'image est 7 : ici, 7 est le résultat, pas le nombre de départ. Il faut donc trouver le x pour lequel 2x + 1 vaut 7.

2x + 1 = 7, donc 2x = 6, donc x = 3. L'antécédent de 7 est 3 (vérification : f(3) = 2 × 3 + 1 = 7).

4. Inverser a et b

f(x) = 2x + 1 : le coefficient directeur est 1 et l'ordonnée à l'origine est 2

Dans ax + b, le nombre a est celui qui est collé au x, et b est le nombre qui reste seul. L'élève a attribué les deux nombres dans le mauvais sens. Pour f(x) = 2x + 1, on a f(0) = 1 et f(1) = 3 : la droite coupe l'axe vertical en 1, et elle monte de 2 quand x augmente de 1.

a = 2 (coefficient directeur) et b = 1 (ordonnée à l'origine)

5. Croire que la droite passe toujours par l'origine

f(0) = 0, donc la droite de f(x) = 2x + 1 passe par l'origine O

Cela n'est vrai que pour une fonction linéaire, c'est-à-dire sans le « + b ». Pour une fonction affine avec b différent de 0, la droite coupe l'axe vertical au-dessus ou en dessous de l'origine. Ici, f(0) = 2 × 0 + 1 = 1.

f(0) = 1 : la droite passe par le point (0 ; 1), pas par l'origine.

6. Calculer le coefficient directeur à l'envers

A(1 ; 3) et B(3 ; 7) : a = (3 − 1) ÷ (7 − 3) = 2 ÷ 4 = 0,5

L'élève a divisé l'écart horizontal (de 1 à 3, soit 2) par l'écart vertical (de 3 à 7, soit 4). Or le coefficient directeur répond à la question « de combien monte-t-on quand on avance de 1 vers la droite ? » : on divise l'écart vertical par l'écart horizontal. Un piège voisin est d'oublier le signe : si la droite descend, a est négatif.

a = (7 − 3) ÷ (3 − 1) = 4 ÷ 2 = 2

7. Placer (2 ; 5) en (5 ; 2)

f(2) = 5, donc je place le point (5 ; 2)

Dans un point (x ; y), on écrit d'abord l'abscisse, lue sur l'axe horizontal, puis l'ordonnée, lue sur l'axe vertical. Pour f(2) = 5, x vaut 2 et y vaut 5 : le point est (2 ; 5). Le point (5 ; 2) n'est d'ailleurs pas sur la droite de f(x) = 2x + 1, car f(5) = 11 et non 2.

f(2) = 5 donne le point (2 ; 5) : on avance de 2 vers la droite, puis on monte de 5.

8. Appeler « linéaire » toute fonction dont la courbe est une droite

f(x) = 2x + 3 est linéaire car sa représentation est une droite

Toute fonction affine a une droite pour représentation, mais seules les fonctions linéaires, de la forme f(x) = ax sans « + b », traduisent la proportionnalité. Ici, f(2) = 7 et f(4) = 11 : quand x double, f(x) ne double pas, puisque le double de 7 serait 14. C'est comme un abonnement avec 5 € de frais fixes puis 2 € par séance. Le prix pour x séances est f(x) = 2x + 5, une fonction affine non linéaire : 2 séances coûtent 9 €, 4 séances coûtent 13 € et non 18 €, donc le prix n'est pas proportionnel au nombre de séances.

f(x) = 2x + 3 est affine, pas linéaire (b = 3). f(x) = 2x est linéaire : f(2) = 4, f(4) = 8, le double.

Vérifier son travail sans connaître le cours

Vous n'avez pas à refaire l'exercice. Trois contrôles suffisent, et votre enfant peut vite les faire seul :

1. « Remplace x par 0, puis par 1, et regarde. » Le résultat pour x = 0 donne b, et la différence entre le résultat pour x = 1 et celui pour x = 0 donne a. Pour f(x) = 2x + 1 : f(0) = 1 et f(1) = 3, donc b = 1 et a = 3 − 1 = 2.
2. « Vérifie le point en remplaçant x dans la formule. » Si l'on annonce que le point (2 ; 5) est sur la droite de f(x) = 2x + 1, on calcule 2 × 2 + 1 = 5 : c'est bon. Pour (5 ; 2), on trouve 2 × 5 + 1 = 11 et non 2 : le point est mal lu ou mal placé. Le même contrôle vaut pour un antécédent : si l'on annonce que 3 est un antécédent de 7, alors f(3) doit valoir 7.
3. « Regarde dans quel sens va la droite, puis fais l'escalier. » Si la droite monte de gauche à droite, a est positif ; si elle descend, a est négatif. Ensuite, on avance d'une unité vers la droite et on compte de combien d'unités la droite monte ou descend : c'est a. Attention à bien lire les graduations des axes, car un carreau ne vaut pas toujours 1. Sur la droite de f(x) = 2x + 1, on monte de 2.

Quand il faut réexpliquer : Klara fait la prof

Parfois, une question ne suffit pas : la différence entre image et antécédent, ou l'idée que a est « de combien on monte quand on avance de 1 », n'a jamais été vraiment comprise, et vous ne pouvez pas tout reprendre. Klarityschool intervient alors. Votre enfant montre son exercice, et Klara, la tutrice vocale, le fait raisonner à voix haute. Elle pose exactement ce genre de question, repère l'étape qui coince et reformule la méthode autant de fois qu'il le faut. Elle ne donne jamais la réponse.

Vous restez le parent : vous recevez un débrief après chaque séance. Pour aller plus loin en maths, lisez notre guide pour aider votre enfant en maths.

Questions fréquentes

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