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Identités remarquables en 3e : les erreurs qui coûtent des points (et comment aider votre enfant)

« (x + 3)² = x² + 9 » : c'est l'une des erreurs que l'on voit le plus souvent sur les copies de 3e. Les identités remarquables sont trois égalités à connaître, et chacune cache un piège de signe ou de double produit. C'est très courant, même chez les élèves sérieux. Voici les erreurs les plus fréquentes, et pour chacune une question à poser à votre enfant pour qu'il trouve lui-même ce qui cloche, sans que vous ayez besoin de vous souvenir du cours.

Les identités remarquables, en une phrase

Une identité remarquable est une égalité vraie pour tous les nombres, qui permet de développer ou de factoriser plus vite. En 3e, on en voit en général trois :

• (a + b)² = a² + 2ab + b² : le carré d'une somme.
• (a − b)² = a² − 2ab + b² : le carré d'une différence.
• (a + b)(a − b) = a² − b² : le produit d'une somme par une différence.

Développer et factoriser sont le même chemin parcouru dans les deux sens. Un exemple de chaque, avec x et 4, puis x et 6 :

développer : (x + 4)² = x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16
factoriser : x² − 36 = x² − 6² = (x + 6)(x − 6)

Elles servent aussi au calcul mental, quand un nombre est proche d'une centaine :

101² = (100 + 1)² = 100² + 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201
99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1² = 9 999

Les erreurs à repérer sur la copie

1. Mettre au carré chaque terme, et rien d'autre

(x + 5)² = x² + 25

(x + 5)² veut dire (x + 5) × (x + 5), et non x² + 5². L'élève a élevé chaque terme au carré et a oublié les produits croisés, que représentent les deux rectangles de la figure. Avec des nombres : (2 + 3)² vaut 5² = 25, mais 2² + 3² vaut 13. Le piège existe aussi en calcul mental : 101² n'est pas 100² + 1² = 10 001, mais 10 201.

(x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25

2. Oublier le double produit, ou ne l'écrire qu'une fois

(x + 3)² = x² + 3x + 9

Le terme du milieu est le double produit 2 × x × 3, c'est-à-dire deux rectangles de côtés x et 3. L'élève n'en écrit qu'un (ou aucun). Pour x = 2, (x + 3)² vaut 5² = 25, alors que x² + 3x + 9 vaut 4 + 6 + 9 = 19.

(x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9

3. Oublier de mettre au carré le nombre devant x

(3x + 1)² = 3x² + 6x + 1

Dans (3x + 1)², le premier terme est 3x tout entier, donc son carré est (3x)² = 3x × 3x = 9x². L'élève n'a mis au carré que le x. Pour x = 2, (3x + 1)² vaut 7² = 49, alors que 3x² + 6x + 1 vaut 12 + 12 + 1 = 25.

(3x + 1)² = (3x)² + 2 × 3x × 1 + 1² = 9x² + 6x + 1

4. Se tromper de signe à la fin d'un carré de différence

(x − 3)² = x² − 6x − 9

Le dernier terme est le carré de 3, donc un nombre positif : +9. Le signe moins ne reste que sur le double produit, −6x. Pour x = 3, (x − 3)² vaut 0, alors que x² − 6x − 9 vaut 9 − 18 − 9 = −18.

(x − 3)² = x² − 2 × x × 3 + 3² = x² − 6x + 9

5. Écrire (a − b)² = a² − b²

(x − 4)² = x² − 16

C'est la même erreur que la première, avec un signe moins : l'élève distribue le carré sur chaque terme. Il manque le double produit, qui vaut ici −2 × x × 4 = −8x. Pour x = 5, (x − 4)² vaut 1², soit 1, alors que x² − 16 vaut 25 − 16 = 9.

(x − 4)² = x² − 2 × x × 4 + 4² = x² − 8x + 16

6. Factoriser x² − 9 en (x − 3)²

x² − 9 = (x − 3)²

L'élève a reconnu une différence de deux carrés, mais il a choisi le carré d'une différence. La bonne forme est un produit de deux parenthèses différentes : l'une avec un plus, l'autre avec un moins. Pour x = 5, x² − 9 vaut 16, mais (x − 3)² vaut 4. Et inversement, (x + 3)(x − 3) se développe en x² − 9, sans terme en x : les deux produits croisés, +3x et −3x, s'annulent.

x² − 9 = x² − 3² = (x + 3)(x − 3)

7. « Factoriser » une somme de deux carrés

x² + 9 = (x + 3)(x − 3)

La différence de deux carrés se factorise avec cette identité, pas la somme. Si l'on redéveloppe (x + 3)(x − 3), on trouve x² − 9, et non x² + 9. Avec les outils du collège, x² + 9 reste tel quel.

x² − 9 = (x + 3)(x − 3), alors que x² + 9 ne se factorise pas ainsi : on le laisse tel quel.

8. Oublier le coefficient en factorisant 4x² − 25

4x² − 25 = (4x + 5)(4x − 5)

Dans 4x², le terme qui est mis au carré est 2x, puisque (2x)² = 4x², et non 4x. En redéveloppant, (4x + 5)(4x − 5) donne 16x² − 25 : le terme en x² n'est plus le même. Pour trouver le bon terme, on se demande quel nombre multiplié par lui-même donne 4.

4x² − 25 = (2x)² − 5² = (2x + 5)(2x − 5)

Vérifier son travail sans connaître le cours

Vous n'avez pas à refaire l'exercice. Trois contrôles simples repèrent la plupart des erreurs, et votre enfant peut vite les faire seul :

1. « Remplace x par un nombre, par exemple 2, dans les deux expressions : elles doivent donner le même résultat. » Pour (x + 3)² = x² + 6x + 9 et x = 2 : 5² = 25 et 4 + 12 + 9 = 25. C'est bien la même chose. Si les deux nombres sont différents, c'est la preuve qu'il y a une erreur. S'ils sont égaux, ce n'est pas encore une preuve : refaites le test avec un second nombre, par exemple 4. Évitez 0 et 1, qui cachent souvent des erreurs : avec x = 0, la mauvaise réponse x² + 9 donnerait 9, comme (x + 3)².
2. « Compte les termes et regarde le dernier signe. » Le développement d'un carré a trois termes : un terme en x² au début, le double produit au milieu, un nombre au carré à la fin. Ce dernier est toujours positif, même dans un carré de différence. Le produit (a + b)(a − b), lui, n'en a que deux, car les produits croisés s'annulent.
3. « Redéveloppe ta factorisation. » En développant le produit obtenu, on doit retrouver l'expression de départ. Par exemple, si votre enfant a écrit x² + 9 = (x + 3)(x − 3), le développement donne x² − 9 : la factorisation est fausse. Quand on ne retrouve pas l'expression de départ, un signe ou un coefficient s'est perdu en route.

Quand il faut réexpliquer : Klara fait la prof

Parfois, une question ne suffit pas : l'idée qu'un carré est un produit à développer, et non un exposant à distribuer sur chaque terme, n'a jamais été comprise, et vous ne pouvez pas tout reprendre. Klarityschool intervient alors. Votre enfant montre son exercice, et Klara, la tutrice vocale, le fait raisonner à voix haute. Elle pose exactement ce genre de question, repère l'étape qui coince et reformule la méthode autant de fois qu'il le faut. Elle ne donne jamais la réponse.

Vous restez le parent : vous recevez un débrief après chaque séance. Pour aller plus loin en maths, lisez notre guide pour aider votre enfant en maths.

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