Notions du collège · Maths · 3e
Probabilités en 3e : les erreurs qui coûtent des points (et comment aider votre enfant)
Votre enfant sait que « la probabilité, c'est les cas qui nous intéressent sur tous les cas possibles », et pourtant la copie revient avec des points en moins. C'est très courant. Voici les erreurs les plus fréquentes, et pour chacune une question à lui poser pour qu'il trouve lui-même ce qui cloche, sans que vous ayez besoin de vous souvenir du cours.
Calculer une probabilité, en une phrase
Quand toutes les boules ont la même chance d'être tirées, la probabilité est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Ici, 3 boules foncées sur 5 boules.
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, appelés issues, sans pouvoir prévoir lequel va se produire : lancer un dé, tirer une boule dans une urne. Un événement est un ensemble d'issues : « obtenir un nombre pair » regroupe les issues 2, 4 et 6.
Quand toutes les issues ont la même chance (c'est l'équiprobabilité : dé équilibré, boules identiques au toucher), on a P(A) = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles. Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1 : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1, et l'événement contraire de A a pour probabilité 1 − P(A).
Reprenons l'urne de 3 boules foncées et 2 boules claires :
5 boules en tout, donc 5 cas possibles
P(foncée) = 3/5
P(claire) = 2/5 = 1 − 3/5
3/5 + 2/5 = 1
Pour une expérience à deux épreuves (en général vue en 3e), on dresse un arbre ou un tableau : on multiplie les probabilités le long d'une branche, puis on additionne celles des branches qui réalisent l'événement. Enfin, la fréquence d'un événement est mesurée sur des essais réels et change d'une série à l'autre, alors que la probabilité se calcule avant les essais.
Les erreurs à repérer sur la copie
1. Diviser par les cas défavorables au lieu des cas possibles
Un sac contient 2 boules rouges et 3 boules bleues. P(rouge) = 2/3
L'élève a divisé les cas favorables (2) par les cas défavorables (3). Il faut diviser par tous les cas possibles, c'est-à-dire par toutes les boules du sac : 2 + 3 = 5. Autre indice : il y a moins de boules rouges que de bleues, donc la rouge doit avoir moins d'une chance sur deux, alors que 2/3 est plus grand que 1/2.
« Combien de boules y a-t-il dans le sac en tout ? Le sac contient moins de rouges que de bleues : la rouge a-t-elle plus ou moins d'une chance sur deux ? Et 2/3, est-ce plus ou moins que la moitié ? »
P(rouge) = 2/5 : 2 cas favorables sur 2 + 3 = 5 cas possibles
2. Dire « deux issues, donc une chance sur deux »
Un sac contient 1 boule rouge et 9 boules vertes. Il y a deux couleurs, donc P(rouge) = 1/2
Le calcul « 1 sur 2 » ne marche que si les deux issues ont la même chance. Ici, ce n'est pas le cas : la rouge est seule parmi 10 boules. Ce qu'il faut compter, ce sont les boules (les cas possibles), pas les couleurs.
« Les deux couleurs ont-elles autant de boules dans le sac ? Compte toutes les boules : sur combien de cas possibles repose le tirage ? »
P(rouge) = 1/10 : 1 cas favorable sur 1 + 9 = 10 cas possibles
3. Croire que toutes les sommes de deux dés sont aussi probables
Avec deux dés, la somme va de 2 à 12 : il y a 11 issues, donc P(somme 7) = 1/11
Les 11 sommes ne sont pas équiprobables. Les cas qui le sont, ce sont les couples (résultat du premier dé ; résultat du second) : 6 × 6 = 36. La somme 7 s'obtient de six façons, (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2) et (6 ; 1). La somme 2 d'une seule, (1 ; 1). Le 7 est donc six fois plus probable que le 2.
« Dresse un tableau à double entrée avec les résultats du premier dé et ceux du second. Combien de cases donnent 7 ? Combien donnent 2 ? Les deux sommes ont-elles la même chance ? »
36 cas possibles équiprobables
P(somme 7) = 6/36 = 1/6
P(somme 2) = 1/36
4. Écrire une probabilité supérieure à 1
Au lancer d'un dé, P(nombre pair) = 3, car il y a trois nombres pairs
Le 3 est le nombre de cas favorables (2, 4 et 6), pas une probabilité. Il reste à le diviser par les 6 cas possibles. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : elle s'écrit en fraction (1/2), en nombre décimal (0,5) ou en pourcentage (50 %), jamais comme un nombre de cas ou de « chances ».
« Sur une droite graduée de 0 à 1, où places-tu ton 3 ? Quel nombre représente un événement certain ? »
P(nombre pair) = 3/6 = 1/2
5. Croire que le hasard « rééquilibre »
Une pièce équilibrée a donné pile 5 fois de suite, donc au lancer suivant face a plus de chances de sortir
La pièce n'a pas de mémoire. À chaque lancer, pile et face ont la même chance : P(face) = 1/2, comme au tout premier lancer. Sur 6 lancers, la suite PPPPPP et la suite PPPPPF ont d'ailleurs la même probabilité : 1/64, car 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64.
« Entre le cinquième et le sixième lancer, qu'est-ce qui a changé sur la pièce elle-même ? La pièce sait-elle ce qui est sorti avant ? »
Au 6e lancer, P(face) = 1/2, comme au 1er
6. Confondre fréquence observée et probabilité
J'ai lancé un dé 6 fois et j'ai obtenu 2 fois le 6, donc la probabilité d'obtenir 6 est 2/6 = 1/3
Le 1/3 est la fréquence observée sur ces 6 lancers. La probabilité d'obtenir 6 avec un dé équilibré se calcule sur les faces : 1 face sur 6. Une autre série de 6 lancers donnerait peut-être 0 ou 1 fois le 6. C'est sur un très grand nombre de lancers que la fréquence se rapproche en général de la probabilité.
« Combien de faces a le dé, et combien portent le 6 ? Si tu refais une autre série de 6 lancers, es-tu sûr de retrouver 2 fois le 6 ? »
Fréquence du 6 sur cette série : 2/6 = 1/3
Probabilité d'obtenir 6 : 1/6
7. Additionner au lieu de multiplier le long d'une branche
On lance une pièce équilibrée deux fois. P(pile puis pile) = 1/2 + 1/2 = 1
Sur un arbre, « pile au premier lancer » et « pile au second » : on multiplie les probabilités le long de la branche. On additionne seulement les branches différentes qui donnent le même événement. Autre piège voisin : compter 3 issues (deux piles, un pile et un face, deux faces). Or « un pile et un face » regroupe deux chemins, pile puis face et face puis pile.
« Fais l'arbre des deux lancers : combien de chemins différents obtiens-tu, et combien mènent à deux piles ? Que voudrait dire une probabilité égale à 1 ? »
P(pile puis pile) = 1/2 × 1/2 = 1/4
P(un pile et un face) = P(pile puis face) + P(face puis pile) = 1/4 + 1/4 = 1/2
8. Dire qu'un événement et son contraire ont chacun 1/2
Au lancer d'un dé, « obtenir 6 » et son contraire ont chacun la probabilité 1/2, car soit on obtient 6, soit on ne l'obtient pas
Il y a bien deux possibilités, mais elles n'ont pas la même chance. Le contraire de « obtenir 6 » est « obtenir 1, 2, 3, 4 ou 5 » : 5 faces sur 6. Un événement et son contraire ont des probabilités dont la somme vaut 1, pas forcément 1/2 chacun.
« Compte les faces du dé qui donnent 6, puis celles qui ne donnent pas 6. Ont-elles autant de chances ? Que doit valoir la somme des deux probabilités ? »
P(ne pas obtenir 6) = 1 − 1/6 = 5/6
Vérifier son travail sans connaître le cours
Vous n'avez pas à refaire l'exercice. Trois contrôles suffisent, et votre enfant peut vite les faire seul :
- « Ta probabilité est-elle entre 0 et 1 ? » Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : écrite en fraction « cas favorables sur cas possibles », son numérateur n'est jamais plus grand que son dénominateur. 3/5 est possible, 6/5 ou 3 ne le sont pas. Un résultat supérieur à 1 ou négatif signale une erreur.
- « Si tu additionnes les probabilités de toutes les issues, trouves-tu 1 ? » Pour un dé équilibré, six fois 1/6 font 1. Pour l'urne de 3 boules foncées et 2 claires : 3/5 + 2/5 = 1. Si la somme ne fait pas 1, un cas a été oublié ou mal compté.
- « Les cas que tu comptes ont-ils tous la même chance ? » Le dénominateur doit être le nombre de tous les cas possibles, et ces cas doivent être aussi probables les uns que les autres. Deux couleurs, ou les 11 sommes de deux dés, ne sont pas des cas équiprobables.
Le bon réflexe : poser la question, puis se taire. Si votre enfant a écrit P(rouge) = 2/3 et P(bleue) = 3/2 pour un sac de 2 rouges et 3 bleues, puis additionne lui-même ses deux probabilités et trouve plus que 1, il voit d'où vient l'erreur et a de bonnes chances de ne plus la refaire. Si vous lui donnez la correction, il risque de la recopier sans la comprendre.
Quand il faut réexpliquer : Klara fait la prof
Parfois, une question ne suffit pas : l'idée de « compter tous les cas possibles, tous aussi probables » n'a jamais été comprise, et vous ne pouvez pas tout reprendre. Klarityschool intervient alors. Votre enfant montre son exercice, et Klara, la tutrice vocale, le fait raisonner à voix haute. Elle pose exactement ce genre de question, repère l'étape qui coince et reformule la méthode autant de fois qu'il le faut. Elle ne donne jamais la réponse.
Vous restez le parent : vous recevez un débrief après chaque séance. Pour aller plus loin en maths, lisez notre guide pour aider votre enfant en maths.
Questions fréquentes
Que voit-on sur les probabilités en 3e ?
Une probabilité peut-elle être négative ou supérieure à 1 ?
Quelle différence entre fréquence et probabilité ?
Comment calculer une probabilité quand il y a deux épreuves ?
Après plusieurs piles de suite, face a-t-elle plus de chances de sortir ?
À lire aussi
- Fractions en 6e : les erreurs qui coûtent des points
- Produit en croix en 5e et 4e : les erreurs qui coûtent des points
- Théorème de Thalès en 3e : les erreurs qui coûtent des points
- Toutes les notions du collège
- Comment aider mon enfant en maths
Ce soir, Klara fait la prof de maths
Elle fait expliquer votre enfant à voix haute, repère l'étape qui coince et réexplique la méthode, sans jamais souffler la réponse. Vous restez le parent, débrief à chaque séance. Testez Klara gratuitement.
Télécharger l'application →